王玉蓮  趙鐵軍  劉娜娜

　　測(cè)量不確定度是對(duì)測(cè)量結(jié)果可能誤差的度量，也是定量說(shuō)明測(cè)量結(jié)果質(zhì)量(或可靠性)的一個(gè)參數(shù)。而自由度卻是測(cè)量不確定度的一個(gè)參數(shù)，是反映相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的可靠程度，也是說(shuō)明不確定度的質(zhì)量(或可靠性)的一個(gè)參數(shù)。自由度還可稱為二階不確定度，通常表示所給標(biāo)準(zhǔn)不確定度的可靠程度或準(zhǔn)確程度。

　　目前，有人通過(guò)證明不確定度的自由度，得出算術(shù)平均值不確定度的自由度比單次測(cè)量結(jié)果不確定度的自由度大的結(jié)論，本文對(duì)此進(jìn)行討論。

　　首先，必須明確“X_i的最佳估計(jì)x_i沒有自由度，而JJF1059-1999中的2.18條明確闡述“自由度反映相應(yīng)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的可靠程度”，即自由度是標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)的一個(gè)參數(shù)，而不是測(cè)量結(jié)果的參數(shù)，不確定度才是測(cè)量結(jié)果的參數(shù)。
　　其次，將測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值X展開后直接代入不確定度傳播公式中，算出:
　　
　　但是，由此結(jié)果推斷X_i與X_j(各單次測(cè)量結(jié)果)之間互不相關(guān)或相互獨(dú)立的假設(shè)成立，是沒有理論依據(jù)的。進(jìn)一步應(yīng)用Welch-Satterthwaite公式來(lái)計(jì)算平均值不確定度的有效自由度，更是概念上的混亂，因?yàn)橛行ё杂啥群铣晒酵茖?dǎo)成立的前提條件是當(dāng)各分量均服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立時(shí)，可用Welch-Satterthwaite公式來(lái)計(jì)算其合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度，在于沒有足夠條件證明對(duì)同一被測(cè)量多次測(cè)量之任一次測(cè)量結(jié)果是服從正態(tài)分布的；同時(shí)，又僅僅利用不確定度傳播公式合成計(jì)算得出的結(jié)果來(lái)反推X_i與X_j是相互獨(dú)立或不相關(guān)，缺乏足夠證據(jù)，因此得出ν_eff=k·ν_p，是不妥的。

　　自由度是直接反映不確定度的評(píng)定質(zhì)量、表征不確定度可靠性的一個(gè)參數(shù)。“算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果比用一次測(cè)量值作為結(jié)果可靠性要高”這句話是正確的，這已從它們的不確定度大小中有所體現(xiàn)，即:；作為測(cè)量結(jié)果的可靠性指標(biāo)——測(cè)量不確定度的確不一致，平均值的不確定度小于單次測(cè)量結(jié)果的不確定度，算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果比單次測(cè)量結(jié)果可靠性高，這是合乎邏輯的。

　　而“算術(shù)平均值的不確定度的自由度比單次測(cè)量或合成樣本標(biāo)準(zhǔn)差的自由度要大”恰恰不合邏輯，因?yàn)樽杂啥鹊暮x是代表信息量，信息量多、自由度大，反之則小。s與信息量相同，均為k個(gè)測(cè)量結(jié)果，因此，二者的自由度必然相同。

　　筆者認(rèn)為:
　　1.當(dāng)測(cè)量結(jié)果用多次測(cè)量平均值報(bào)告時(shí)，其可靠性要比單次測(cè)量結(jié)果高，其A類不確定度比單次測(cè)量結(jié)果的A類不確定度要小，但二者的不確定度的可信性一致，即自由度相同。這是因?yàn)?img src="http://zgjl.chinajl.com.cn/zgjl/zgjl/watu/070381AE.JPG" alt="" />與X_i之間信息量不同，信息量大，X_i信息量少，故比X_i更可靠，而與s(X_i)所包含的信息量是一致的，因此自由度也一致，合乎自由度的定義和含義。

　　2.按照自由度的定義:總和的項(xiàng)數(shù)減去其中受約束的項(xiàng)數(shù)。對(duì)于A類評(píng)定的不確定度，其自由度為:在方差計(jì)算中，和的項(xiàng)數(shù)減去對(duì)和的限制數(shù)。即是觀測(cè)次數(shù)與被測(cè)量個(gè)數(shù)之差。對(duì)同一被測(cè)量，則自由度為測(cè)量次數(shù)減1。
　　在數(shù)學(xué)方面，可以證明自由度與標(biāo)準(zhǔn)不確定度的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度有關(guān):
    
　　對(duì)于平均值而言，有:
　　對(duì)于單次測(cè)量結(jié)果，有:
　　代入式(1)可得ν_平均=ν_單次
　　即平均值標(biāo)準(zhǔn)差的自由度與單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的自由度相等。
　　作者單位【黑龍江省計(jì)量檢定測(cè)試院】